Opérateurs et fonctions mathématiques

Opérateurs arithmétiques

 

 

Tableau 5.1: Les opérateurs arithmétiques.

Addition	+
Soustraction	-
Multiplication	*
Division	/
Puissance	**

Le tableau 5.1 donne la liste des opérateurs arithmétiques de Fortran. Ils sont listés par ordre de priorité croissante.

Dans une expression, on évalue donc d'abord ** puis /, puis *, et enfin + et -.

On peut aussi grouper des sous-expressions entre parenthèses.

Exemples

évalue $a+\frac{b}{c}-d$.

évalue $\frac{a+b}{c+d}$.

Conversion de type dans une opération

Lorsque deux opérandes de types différents interviennent de chaque coté d'un opérateur :

1.

l'opérande de type le plus faible est converti dans le type de l'autre opérande

2.

l'opération est effectuée, et le type du résultat est le type le plus fort

Les types sont classés dans l'ordre suivant (du plus fort au plus faible) :

• complex
• double precision
• real
• integer
• logical ^5.1

Exemples

b**2 sera du type de b.

4*a*c sera du type le plus fort de a et de c.

Si a et c sont real, et b double precision, le résultat de b**2-4*a*c sera double precision, mais attention, le produit a*c sera effectué en simple précision, d'où une perte de précision possible.

Pièges classiques

2/3 sera du type integer. Autrement dit la division effectuée sera une division entière, et le résultat sera 0. Pour calculer effectivement deux tiers en réel, écrire : 2./3, 2/3. ou 2./3.

Idem pour i/j où i et j sont deux variables integer. Écrire : real(i)/j

Conversion de type dans une affectation

Lorsqu'une variable est affectée avec une expression de type différent, le résultat de l'expression est converti dans le type de la variable.

Exemples

i=1.3456 affectera la variable integer i avec 1.

Attention :

x=2/3 affectera la variable real x avec 0.0 !!!

Fonctions mathématiques

Une fonction FORTRAN est une boite dans laquelle rentre un ensemble de grandeurs d'un type donné (les arguments) et de laquelle sort une grandeur d'un type donné (cf 10.4).

Certaines fonctions mathématiques sont prédéfinies dans le langage (tables 5.2 et 5.3). On n'utilisera pas la même fonction selon le type de l'argument. Par exemple la fonction sinus sera SIN pour un argument réel, DSIN pour un argument double precision, CSIN pour un argument complexe.

Important :

• Le ou les arguments d'une fonction sont toujours entre parenthèses.
• Chaque fonction a son domaine de définition. Son non-respect entraîne une erreur d'exécution, c'est-à-dire que le programme s'arrête.

Exemples

Pour définir $\pi$ en double precision :

 

 

Tableau 5.2: Fonctions arithmétiques prédéfinies.

real	double precision	complex	Fonction
SIN	DSIN	CSIN	sin(x)
COS	DCOS	CCOS	cos(x)
TAN	DTAN		tg(x)
ASIN	DASIN		arcsin(x)
ACOS	DACOS		arccos(x)
ATAN	DATAN		arctg(x)
SINH	DSINH		sh(x)
$\cdots$	$\cdots$		$\cdots$
LOG10	DLOG10		log10(x)
LOG	DLOG	CLOG	ln(x)
EXP	DEXP	CEXP	exp(x)
SQRT	DSQRT		$\sqrt{x}$

 

 

Tableau 5.3: Fonctions diverses prédéfinies.

integer	real	double precision	complex	Fonction
MAX0	AMAX1	DMAX1		max(x,y)
MIN0	AMIN1	DMIN1		min(x,y)
IABS	ABS	DABS	CABS	|x| ou |z|
INT	AINT	DINT		Partie entière
MOD	AMOD	DMOD		Reste dans la division entière

Fonctions de conversion

Ces fonctions permettent de convertir explicitement des données d'un type en un autre type. La figure 5.1 donne les noms des des différentes fonctions permettant à partir d'un type initial d'obtenir un autre type de valeur.

  

Figure 5.1: Fonctions de conversion de types.

Calcul en virgule flottante

La représentation des réels en virgule flottante entraîne fatalement des erreurs^5.2 :

• de représentation lors d'une affectation Elles viennent du fait qu'un nombre réel quelconque n'admet pas de représentation exacte en virgule flottante.
• d'arrondi dans les calculs. À la suite d'une opération arithmétique, le résultat est tronqué (c'est-à-dire que des chiffres significatifs sont effacés) pour pouvoir être codés en virgule flottante.

Ces erreurs peuvent être dramatiques, dans des algorithmes sensibles aux erreurs. Lors d'une opération simple, l'erreur effectuée est petite, mais si l'algorithme amplifie ces erreurs, le résultat peut être complètement faux.

Exemples

1.+1e-8 sera codé comme 1.

1d0+1d-16 sera codé comme 1d0

De nombreuses suites récurrentes exhibent les conséquences dramatiques des erreurs d'arrondi (voir TD).

Par exemple, la suite :

$$\begin{eqnarray*}u_0 &=& e-1 \\ u_n &=& n . u_{n-1}-1 \end{eqnarray*}$$

converge mathématiquement vers 0 mais selon la machine utilisée et la précision choisie, elle pourra converger vers $-\infty$, $\infty$ ou 0 ou même ne pas converger du tout !